Александр Степанович Пирогов родился (22 июня) 4 июля 1899 года в Рязани. В семье он был младшим из пяти братьев.
Александр начал петь, когда ему исполнилось шестнадцать лет, он обучался в музыкальном училище Московского филармонического общества, его преподавателем был Василий Тютюнник.
По мнению исследователей творчества певца и критиков, вершиной его творчества стал созданный им образ русского царя Бориса Годунова в одноимённой опере Модеста Петровича Мусоргского. За эту роль Александр Пирогов был удостоен в 1949 году Сталинской премии.
Пирогов также выступал как камерный певец, включив в свой репертуар романсы русских композиторов и народные песни. Как свидетельствуют очевидцы, певец поражал голосом редкой красоты и выразительности, имевшим широкий диапазон и неповторимый тембр.
Скончался Александр Степанович Пирогов 26 июня 1964 года на острове Медвежья Голова в Рязанской области.
