Евгений Яковлевич Весник родился 15 января 1923 года в Петрограде. Отец, Яков Весник, был видным деятелем большевизма и личным другом Орджоникидзе. В 1930-х годах он занимался строительством, а впоследствии стал первым директором завода «Криворожсталь».
После смерти Орджоникидзе последовала расправа с родственниками и знакомыми наркома. Яков Весник был арестован и расстрелян; его жена была отправлена в ссылку в Казахстан, а сын помещен в детский дом.
После войны он поступил и успешно окончил Театральное училище им. М.Щепкина (1948). После училища Евгений стал актером драматического театра им. К.С. Станиславского, с 1954 перешел в театр Сатиры, а в 1963-1992 годах служил в академическом Малом театре.
Кинодебют актера состоялся в 1955 году, с тех пор он активно снимался – на его счету около 70 работ в кино.
С 1992 года Весник работал по договорам. Занимался режиссурой спектаклей в московских театрах и на телевидении. Кроме того, он был театральным режиссером, автором ряда сценариев для радио и телевидения, принимал участие в озвучании мультфильмов, написал более 20 книг.
Народный артист СССР, кавалер многих орденов и медалей — Евгений Яковлевич состоял в Союзе кинематографистов, Союзе театральных деятелей, Союзе писателей.
В последние годы у него были проблемы со здоровьем. В 2005 году он перенес пневмонию, а 7 апреля 2009 года у него случился инсульт.
10 апреля 2009 года Евгений Яковлевич Весник скончался в московской больнице, был похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.
